Ana SayfaBen Kimim?Başvuru FormuİletişimGörüşleriniz  
 
Matematik Özel Ders
Ünlü Matematikçiler
Bilim Tarihinde Matematik
Matematik Yazıları
Matematik Nedir?
Neden Matematik?
ÖSS Soruları
Ders Konuları

 Matematik Özel Ders
Milli Eğitim Bakanlığı
Vergi No Sorgulama
İLSİS Bilgi Sorgulama
Ösym Sınav Sonuçları
Trafik Araç Sorgulama
Trafik İşlemleri
Emekli Sicil No Sorgulama
Türkiye Telefon Rehberi
TC Kimlik Sorgulama
Diğer Linkler

 Matematik Özel Ders
Matematiği seviyormusunuz
Evet  
Hayır  
Bilmiyorum  
 
[Sonuçlar]  

 Matematik Özel Ders
 

 

MATEMATİK NEDİR?

     Günümüzde matematik,ardışık soyutlama ve genellemeler süreci olarak değiştirilen fikirler (yapılar)  ve bağıntılardan oluşan bir sistem  olarak görülmektedir.
    
     Yukarıdaki tanımda üç husus dikkati çekmektedir.Bunlardan biri matematiğin bir sistem olduğu, diğeri yapılardan ve bağıntılardan (ilişkilerden) oluştuğu, üçüncüsü de bu yapıların ardışık soyutlamalar ve genellemeler süreci ile oluşturulduğudur. O halde matematik insan tarafından zihinsel  olarak yaratılan bir sistemdir. Bu durum matematiği soyut hale getirir.
  
    Genel olarak, soyut kavramların kazanılması zordur. Matematiğin öğrencilere zor gelmesinin sebebi belki burada yatmaktadır. Ancak matematik kavramları, öğretim sırasında somutlaştırılarak  ve  somut araçlar kullanılarak bu zorluk giderilebilir; en azından azaltılabilir.
 
    Matematikteki bağıntılar, yapılar arasındaki ilişkilerdir; yapıları birbirine bağlar.Matematik öğretimine başlamadan önce matematiğin bu yapılarının ve ilişkilerinin  tanınmasında; daha iyi bir deyişle, “Matematik” adı verilen sistemin genel olarak tanınmasında fayda vardır; çünkü öğretim faaliyetlerinin  planlanmasında ve planın uygulanmasında   bu yapının öncelikle göz önünde bulundurulması gerekir.
     Matematiğin yapısında elemanlar ve önermeler vardır. Elemanlar matematiğin yapı taşlarıdır. Önermeler, doğru veya yanlış bir fikir ifade eden cümlelerdir.Elemanlara örnek olarak nokta, doğru, düzlem, üçgen, kare, sayı; önermelere örnek  olarak “ İki noktadan bir doğru geçer”, “Üçgenin iç açıları toplamı 180 dir.”  İfadeleri gösterilebilir. Matematikteki kavram ve bağıntılar, eleman ve önermeler ile bunlar arsındaki ilişkilerden oluşur.
     Matematikteki elemanların çoğu tanımlanmıştır. Fakat öyle bazı elemanlar vardır ki önceden tanımlanmış   elemanlar yardımıyla tanımlanamazlar.Sayıları çok az olan bu elemanlara tanımsız elemanlar denir.  Nokta, doğru, düzlem ve uzay tanımsız elemanlardır. Tanımsız elemanlar, sezgi ve günlük yaşayıştaki genel izlenimlere dayanılarak açıklanır. Bu açıklamalar herkes tarafından aynı şekilde kabul edilir.
 
     Örnek: Noktayı, “ Bir kalemin sivri ucunun  kağıt üzerinde bıraktığı iz. “ olarak açıklarız. Bu ifade noktanın tanımı değil, onun neye benzediği hakkında bir açıklamadır.
 
     Tanımsız elemanlar, öğretim sırasında , yukarıda belirtildiği gibi açıklanmalı; bunlar hakkında tanım vermekten kaçınılmalıdır. Yukarıda belirtilen elemanlar tanımsız olarak kabul edildikten sonra diğerleri, bunlar ve tanımlanan diğer elemanlar yardımıyla tanımlanabilir.
 
     Örnek:
     1-Doğru parçası, iki ucundan sınırlandırılmış doğrudur.
     2- Bir ucundan sınırlandırılmış doğruya ışın denir.
     Yukarıdaki örneklerde doğru parçası ve ışın, tanımsız eleman olarak alınan doğruya dayalı olarak tanımlanmıştır.
 
     Bir düşünce sistemi olarak tanımlanan matematiğin diğer öğesi önermelerdir. Önermelerin ifade ettiği hükümler genel olarak doğru veya yanlış olabilir. Ancak matematik, doğru hüküm ifade eden önermelerle uğraşır. Bazı önermelerde belirtilen fikirlerin doğruluğu ispatlanmadan kabul edilir.Örneğin, iki nokta arasındaki en kısa yolun bu iki nokta arasındaki doğru parçasının uzunluğu olduğu aksiyomu 2500 yıldan beri ispatlanamamıştır.Bu önerme doğru olarak kabul edilir. Bazı önermelerin ispatına gerek duyulur;  önermede belirtilen fikrin doğruluğu ancak ispat yapıldıktan sonra kabul edilir.Birinci türdeki önermelere aksiyom, ikinci türdeki önermelere teorem  adı verilir.  Teoremlerin doğrulukları mantık kurallarıyla ispatlanır ve doğruluğu bundan sonra kabul edilir. Teoremlerin ispatında, tanımsız elemanlar, aksiyomlar ve daha önce ispatlanmış teoremlerden yararlanılır.
 
     Bu yapıların ve ilişkilerin oluşturulup geliştirilmesi  sezgiyi gerektirir. Sezgi, hayal gücü, tümevarımcı düşünme ve şaşırtıcı düşünme süreçlerini kapsar.
 
     Tümevarımcı düşünme, olayları tek tek gözleyip bunlar arasındaki  ilişkileri görme ve bu ilişkilerden genellemelere  ulaşma sürecidir. Şaşırtıcı düşünme ise, fikirlerin ansızın akla gelmesi, bir konuda başkalarından farklı fikirler ortaya koyma süreci olarak açıklanabilir. Matematiğin bu yapısı öğrencilere ilkokuldan itibaren onların seviyelerine olarak sezdirilmeli; öğrencilerde, matematiğe değer verme, onu takdir etme duyguları (davranışları) geliştirilmelidir.
 
     Yapısı hakkında kısa açıklama gösteriyor ki, matematikte keşfetme ve yaratma süreci önemlidir. İlköğretimde, öğrencilerde keşfetme sürecinin geliştirilmesi, matematik derslerinin önemli hedeflerinin arasında yer almalı, bu sürecin geliştirilmesi için gayret gösterilmelidir.
     Keşfetme sürecinde sezgiden ve tahminden yararlanmanın büyük yeri vardır. Matematikteki prensiplerin öğrenciler tarafından ilk defa bulunuyormuşçasına görülmesi ve sezilmesi; problemlerin, öğrencilerin kendi görüş ve seziş yoluyla çözülmesi; problemlerin çözümünde, çözümden çok bu çözümdeki sürecin (düşünme yolunun) geliştirilmesi, matematik öğretiminde matematiğin yapısı yönünden göz önüne alınacak önemli hususlar arasında yer alır.
     Öğrencilerde keşfetme sürecinin geliştirilmesi, onların her birini birer bilim adamı veya matematikçi olacak şekilde yetiştirme değil, ilke ve prensiplerin öğrencileri öğrencilerin kavramalarına yardım edilmesi ve çalışmalarda  ilke ve prensiplerin hazır verilip ezberletilmesi yerine, onları kendilerinin bulmasını sağlayacak bir öğretim yöntemine başvurulması anlamındadır. Unutulmamalıdır ki, ilköğretim matematiğindeki  prensip ve ilkeler zihinsel gelişimi normal olan öğrencilere bu yolla kazandırılabilir. Bu bağlamda, matematik öğretiminde kullanılacak öğretim modelinin genellikle buluş yoluyla öğretim olması gerektiği ifade edilebilir.
 
NASIL BİR MATEMATİK ÖĞRETİMİ
 
     Matematiğin yapısına uygun bir öğretim şu üç amaca yönelik olmalıdır:
 
1-    Öğrencilerin matematikle ilgili kavramları anlamalarına,
2-    Matematikle ilgili işlemleri anlamalarına,
3-    Kavramların ve işlemlerin arasındaki bağları kurmalarına yardımcı olmak.
        Bu üç amaç ilişkisel anlama olarak adlandırılmaktadır. İlişkisel anlama, matematikteki  yapıları    
 (kavramları ve bunların öğelerini)  anlama, sembollerle ifade etme ve bunun kolaylıklarından  yararlanma; matematikteki işlemlerin tekniklerini anlama ve bunları   sembollerle ifade etme; metotlar, semboller ve kavramlar arasındaki bağıntılar veya ilişkileri kurma olarak açıklanabilir.
    
     Kavramların Bilgisi  
    
     Kavramların bilgisi  matematiksel kavramların kendilerini ve bunlar arasındaki ilişkileri kapsar. Diğer bir deyişle matematiksel kavramların kendileri birer ilişkidirler, bu ilişkiler başka kavramlarla ilişkilidir.Örneğin doğru tanımsız elemandır, fakat noktalardan oluşmuştur. O halde doğru kavramı nokta kavramı ile ilişkilidir. Daha iyi bir deyişle doğru kavramı bir noktalar ilişkisidir. Benzer şekilde doğru parçası ve ışın da doğru ve noktalar ilişkisidir.  Sayılar arasındaki büyüklük küçüklük kavramları da sayılar arasında birer ilişkidir. Bu örnekler matematikteki bütün kavramlara genellenebilir. Matematikteki kavramların kazanılması için çocuğun zihninde bu ilişkilerin oluşması gerekir. Çocuğun bu kavramları kazanması için onları zihninde oluşturmasını gerektirir. İşte bu sebeple kavramları çocuğun kendisi kazanır. Öğretimin ve öğretmenin rolü çocuğa bu kavramları zihninde oluşturmasında yardımcı olmaktır.
    
 Matematikteki kavramların insan zihninde yaratılan ilişkiler olması bunları kazanabilmek için çocuğun belli zihinsel gelişmişlik seviyesine ulaşmış olmasını gerektirir. Bu bakımdan, bir yandan sınıftaki çocukların yaşları aynı olsa da  farklı zihinsel gelişim düzeylerinde bulunabileceklerinden, bir kavramın bütün çocuklarda aynı zamanda oluşması beklenmemelidir. Bazı okullarımızda çocukları yarışma sınavlarına hazırlamak amacıyla kavramların oluşmasına dikkat edilmeden öğretim yapılmakta; bunu bazı aileler de istemekte; hatta körüklemektedirler. Bu durum çocuğun zihninde ilişkiler henüz oluşmadığından kavramların kazanılamamasına ve bu kavramlar başka kavramlarla ilişkili olduğundan sonraki öğrenmelerin zorlaşmasına hatta imkansızlaşmasına sebep olmaktadır. Bu sebeple öğretmenlerin ve ailelerin yarışma sınavlarına hazırlamak amacıyla çocukları zorlamamaları gerekir.
   
     İşlemlerin Bilgisi
 
    İşlemlerin bilgisi, matematikte kullanılan semboller, kurallar ve matematik yaparken  başvurulan işlemlerin bilgisi olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki semboller, bir matematik ifadesindeki işaretlerdir. Örneğin, 7x5+3=38 ifadesindeki 3,5,7,8 ve x birer semboldür. Semboller kavramların  anlamlarını ifade etmezler;  sadece o kavramları yazmada kullanılırlar. Örneğin, 3 sembolü “üç” kavramının ne olduğunu veya “üç”ün ne anlama geldiğini açıklamaz.
 
     Matematikteki işlemler, iki matematik kavramının birleştirilmesinde başvurulan ve adım adım yürütülen yollardır. Örneğin 3 ile 2’nin  toplanmasında 3’e önce 1 eklenip 4’ün, sonra tekrar 1 eklenip 5’in elde edilmesi bir işlemdir. Bu işlem her defa 1 eklenerek adım adım  gerçekleştirilmiştir. İşlemler birer tanımdırlar. Bunların ispatları yoktur. İşlemlerin yapılmasının adım adım  olması, bunların bir işlemin bilgisayar programlarıyla gerçekleştirilmesine benzetilebilir. Bilgisayarda işlemin programı  bilgisayarın hafızasına yüklenir ve her defasında birer olmak üzere adım adım gerçekleştirilir. Program  yüklendikten sonra bilgisayarın “işlem bilgisi”ne sahip olduğu ve o işlemi yapabileceği kabul edilir. Bu benzetme bize, matematikte dört işlemi yapmanın süreç olarak mekanik bir olay olduğu sonucuna götürür.
 
     Gerçekten bazı öğrenciler dört işlemi  doğru olarak yapabildikleri halde, bu işlemlerde problem çözmede büyük zorluk çekmektedirler. Bunun sebebi mekanik olan işlemlerin öğrenilmiş; fakat, işlemlerin anlamlarının kavranmamış olmasıdır.
 

Kavramsal ve işlemsel bilgiler arasındaki ilişkiler

 
     Kavramsal ve işlemsel ilişkiler arasındaki bağı kurmak; uygun kavramları temsil etmede ve açıklamada kurallar ve işlemler bilgisini kavramlara uygun, anlamlı bir akıl yürütme ve semboller temeline oturtmadır. Bir matematiksel süreç oluşturduğunda, adımlar anlamlı olmalı ve her adımın niçin o şekilde yapıldığı açıklanabilmelidir; diğer bir deyişle her adımın o kavram ile ilgisi kurulabilmelidir.
 
     Kavramlar ile işlemler arasındaki bağın kurulması, ilköğretimde, özellikle problem çözmede önemlidir. Bu önem iki noktada kendini gösterir: (a) Problemin matematik cümlesinin yazılmasında (problemin çözümü için hangi işleme veya işlemlere başvurulacağına karar vermede) ve (b) İşlemlerin yapılmasında.
 
  İşlemler ve kurallar bilgisi çocuğun kavramsal bilgileri arasına girdiğinde, çocuk işlemlerin sadece nasıl yapıldığını değil aynı zamanda niçin yapıldığını da açıklayabilir. İşlem bilgisinin kavramsal temellerinin kazanılmaması ve işlem bilgisi ile kavramlar arasındaki ilişkinin kurulmaması, modellerin kurulamamasına, işlemlerin nerede kullanılacağına karar verilememesine sebep olur; bu da özellikle problem çözmede başarısızlık  şeklinde kendini gösterir.
 
     Geleneksel matematik öğretiminde, bu işlemler bilgisi olan hesaplama becerisi, matematik öğretiminde ön planda tutulmuştur. Matematiğin doğuşunda ve tarihi gelişiminde de böyle olmuştur; hatta matematiğin ilk kullanılışı da sadece hesaplama amacına dönük olmuştur. Ancak, tarihi gelişimi içinde matematikte önemli gelişmeler olmuş, matematik hesaplamanın çok ötesine gitmiştir. Öğretimde, özellikle problem çözme becerilerinin kazandırılmasında hesaplama becerisi yanında model koruma ön plana çıkmıştır. Bu durum, matematik alanında öğrenme-öğretme süreçlerinde ilişkisel anlamını önemini artırmaktadır.
  
İlişkisel anlamanın bazı faydaları
 
     İlişkisel anlama  öğretime daha çok yük getirir, daha çok araç kullanılmasını gerektirir; ayrıca daha çok zaman alır. Diğer taraftan öğrencilerin de öğrenmeye özellikle başlangıçta daha çok zaman ayırmalarını gerektirir. Ancak bu tür öğrenmenin öğrenci açısından bir çok faydaları vardır.
Bunlar aşağıdaki gibi özetlenebilir:
1-    Öğrenme zevkli hale gelir, öğrenciler öğrenmeden haz duyarlar,
2-    Öğrenilenlerin hatırlanması kolaylaşır ve öğrenme daha kalıcı olur,
3-    Yeni kavramlar daha kolay öğrenilir, sonraki öğrenmelerde başkasının yardımına daha az ihtiyaç duyulur; kendi kendine öğrenme kolaylaşır,
4-    Problem çözme becerisi gelişir, bu alandaki başarısı artar,
5-    Matematiğe olan kaygı azalır ve ona karşı olumlu tutum gelişir.

MATEMATİĞE OLAN KAYGI VE TUTUM
     Yapılan araştırmalar  bireylerin öğrenmeleri arasındaki  farklılıkların yaklaşık dörtte birinin  kaynağının duyuşsal özelliklerden geldiğini göstermektedir. Duyuşsal özellikler arasında  kaygı ve tutum önemli bir yer tutar. Kaygı, gelmesi beklenen bir tehlikeden korkma halidir.    Matematiğe olan kaygı, korku ve ondan çekinme davranışlarını kapsar.İlerlemesi halinde o kimsenin kaygılandığı durumu başaramayacağı inancına kapılmasına yol açar.
     Tutum ise belli bir objeye karşı bireylerin olumlu veya olumsuz tepki gösterme eğilimi olarak tanımlanmaktadır. Birey olumsuz tutum  geliştirdiği objeye karşı ilgisiz kalır, onu sevmez, takdir etmez ve onunla uğraşmaz, hatta kendisine göre bir iş olmadığını düşünür. Ülkemizde pek çok öğrenci matematiğin zor olduğunu ve matematiği başaramayacağını düşünerek kaygılanmakta ve matematiğe karşı olumsuz tutum geliştirmektedir. Bu durum ilkokulda başlamakta okul yılları ilerledikçe  maalesef artarak devam etmektedir. Sonuçta öğrenciler bu önemli araca karşı olumsuz tutum ve kendilerine güvensizlik geliştirmektedirler. Daha da kötüsü; kendilerini matematiği öğrenecek kadar zeki olmadıkları, matematiğin onların uğraşacağı konular arasında bulunmadığı kanaatine varmaktadırlar. Bu yanlışlıkta, öğretimin, öğretmenin yaklaşımının önemli rolü vardır.
    
     İlköğretim birinci kademedeki matematik kavramları arasında bu yaş çocuklarının öğrenmekte zorlanacağı kavramlar yoktur. Önemli zihin arızası bulunmayan her çocuk bu davranışları kazanabilir. Başarısızlığın sebepleri arasında, matematik öğretiminde öğrencilere, ilişkisel anlamayı sağlayıcı yardımda bulunamayışımız  önemli bir rol oynamaktadır.
 
     İlköğretim programının uygulanması ile ilgili genel açıklamalar
 
     1-Matematik ünitelerinin hedef ve davranışları, genel hedeflerle tutarlı olacak  biçimde sınıf seviyelerine göre düzenlenmiştir.                                                                                                                                        
2- Matematikte kullanılan temel kavramlar ve semboller, her sınıf seviyesinde “ünitede kullanılan    temel kavramlar ve semboller” başlığı adı altında verilmiştir. Kavramlar, anlamları öğrenildikten sonra işlem  bilgisi ile desteklenmelidir. Daha sonra kavram-işlem bilgisi ilişkilendirilmelidir. Bu şekilde çalışma matematik öğretiminin yapısına uygundur.
       3-Öğrenci seviyesi,  çevre faktörleri dikkate alınarak, öğrenme ve öğretme etkinliklerinde bir hedefin bütün davranışları ele alınabileceği gibi, farklı hedeflerin birbirleriyle bağlantılı olan davranışları da  ele alınabilir. Matematik konuları ön şart  ilişkili bir yapıya sahiptir. Her hangi bir kavram onun ön şartı durumundaki diğer kavramlar kazandırılmadan verilmez. Öğrencilerin, toplama işlemini öğrenmeden çarpma işlemini öğrenmeleri zordur. Kesirlerle işlem yapılabilmesi için;  payda eşitleme, sadeleştirme, genişletme tamsayılı kesri bileşik kesre çevirme gibi konuların daha önceden işlenmesi gerekmektedir.
     Öğrenme ve öğretme etkinliklerinde öğretim araç-gereçlerini, dikkat çekmek, alıştırma yapmak, bilgileri açıklamak için hazırlayıp kullanabiliriz. Amaca yönelik olarak tasarlanmış ve geliştirilmiş araçların varlığı ve bunların etkin kullanımı, etkili öğrenmenin vazgeçilmez unsurudur. Matematik ünitelerinin öğretiminde teknolojiden faydalanılmalıdır. Hesap makinesi, bilgisayar, video kaset vb. araçlar imkanlar ölçüsünde sınıf ortamına getirilmelidir. Öğrencilerin bu araçları kullanmalarına fırsat verilmelidir. Öğrencilerin eleştirici düşünme, muhakeme etme, problem çözme becerilerini geliştirmek ve bilimsel metotlara göre çalışma yollarını öğrenmek milli eğitimin  temel  hedefidir. Her ders bu hedefi gerçekleştirmek için birer araçtır. Matematik programındaki hedef ve davranışları  gerçekleştirmeyi sağlayacak öğrenme ve öğretme etkinlikleri diğer derslerle bağlantı sağlayacak şekilde düzenlenmiştir. Ünitelerde yer alan öğrenme ve öğretme etkinliklerinin aynen uygulanması  zorunlu değildir.Bu etkinlikler, öğrenmeye yol göstermek amacıyla açıklanmıştır.Öğrenme, karşılıklı birer etkileşmedir. Programda  hedef ve davranışların gerçekleşmesi için seçilen yöntem ve teknikler önemlidir. Ferdi çalışmaların yanında öğretmenin rehberliğinde grup çalışmalarına başvurulmalıdır. Grup sayısı, sınıf mevcuduna göre öğretmen tarafından düzenlenmelidir. İdeal grup, üç veya beş kişiden oluşturulmalıdır. Seçilen yöntemler ve teknikler, hedef ve davranışların gerçekleştirilmesinde önemli bir unsurdur.Öğrenmede;  işitme ve görme önemli olmakla beraber, yaparak öğrenme daha yararlı ve sürekli sonuçlar sağlar.Programdaki işleniş örnekleri, günlük hayatla bağlantılı ve öğrenci katılımını sağlayacak nitelikte düzenlenmiştir.
  
 İLKÖĞRETİM OKULU MATEMATİK DERSİNİN GENEL HEDEFLERİ

     İnsan içinde yaşadığı topluma ekonomik, sosyal, kültürel ve bilimsel bakımdan uyum sağlayabilen ve kendisine de yararlı olabilen  bir fert olarak yetişebilmesi için gerekli olan birtakım hedefler vardır. Bunları özetle sıralamak mümkündür.
1-    Matematiğe karşı olumlu tutum geliştirebilme
2-    Matematiğin önemini kavrayabilme
3-    Varlıklar arasındaki temel ilişkileri kavrayabilme
4-    Zihinden hesaplamalar yapabilme
5-    Dört işlem yapabilme
6-    Problem çözebilme
7-    Problem kurabilme
8-    Çalışmalarda ölçü, grafik, plan, çizelge ve cetvelden yararlanabilme
9-    Temel işlemleri (yüzde, faiz, iskonto vb.) yapabilme
10-      Zaman, yer ve sayılar arasındaki ilişkiler arasındaki ilişkiler hakkında açık ve kesin fikirler  kazanabilme
11-      Matematik dersinde edinilen bilgi ve becerileri diğer derslerde kullanabilme
12-      Geometrik şekiller arasındaki ilişkileri kavrayabilme
13-      Geometrik  şekillerin alan ve hacimlerini hesaplayabilme
14-      Çevredeki eşyaların şekilleri ve kullanımları arasındaki ilişkileri kavrayabilme
15-      Basit cebirsel işlemleri yapabilme
16-      Birinci dereceden denklem sistemlerini kullanarak problem çözebilme
17-      Trigonometri hesaplarını yapabilme
18-      İstatistik bilgilerini kullanarak grafik çizebilme
19-      Permütasyon ve olasılıkla ilgili hesaplamalar yapabilme
20-      Tümevarım tümdengelim yöntemleriyle düşünerek çözümlemeler yapabilme
21-      Bilimsel yöntemin ilkelerini problem çözmede kullanma
22-      Çalışmalarda;  düzenli, dikkatli, sabırlı olabilme
23-      Araştırıcı, tarafsız, önyargısız, yerinde karar verebilen, açık fikirli ve bilginin yayılmasının   gerekliliğine inanan bir kişiliğe sahip olabilme
24-      Yaratıcı ve eleştirel düşünebilme 
25-      Karşılaştığı problemleri çözebilecek yöntemler geliştirebilme
26-      Estetik duygular geliştirebilme
 
PROBLEM VE PROBLEM ÇÖZME
Problem çözme yeteneğinin geliştirilmesi, ilköğretimde matematik derslerinin amaçları arasında önemli bir yer tutar. Bu  bölümde problem ve problem çözmenin ne olduğu, problem çözme sürecindeki davranışlar, problem çözme becerisinin geliştirilmesi amacıyla yapılabilecek öğrenme-öğretme etkinlikleri üzerinde durulmaktadır.

 PROBLEM NEDİR?
     John Dewey problemi, insan zihnini karıştıran, ona meydan okuyan ve inancı belirsizleştiren her şey olarak tanımlamaktadır. Problem, bu şekilde, zihni karıştıran ve inancı belirsizleştiren şeyler olarak alındığında problemin çözümü, belirsizliklerin ortadan kaldırılması demek olur. Bir problemle karşı karşıya kalındığında problemi çözmek (belirsizlikleri ortadan kaldırmak) için durumun analiz edilmesi, gerekli bilgilerin toplanması, bunlardan çözüme götürücü olanların seçilmesi ve seçilen bilgilerin uygun biçimde düzenlenerek kullanılması gerekir.  
     Yukarıdaki tanım analiz edildiğinde   bir durumun problem olması için insanın zihnini karıştırması gerekir. Bu, karşılaşılan durumun yeni olması; bireyin bu durumla daha önce karşılaşmamış olmasını gerektirir.Bu duruma göre, bir birey için problem olan durum başka biri için problem olmayabilir; çünkü bir durumla, bazı bireyler daha önce karşılaşmış oldukları halde bazıları karşılaşmamış olabilir. Matematik derslerinde, bir konunun öğretimi sırasında çözülmüş bir problemi öğrencilerin aynen çözmesini  isteyen bir öğretmenin problem çözdürdüğü söylenemez; çünkü problem diye verilen durumun öğrenciler için yeni bir tarafı yoktur
     Yeni bir problemin elde edilmesi, kitaptaki veya derste üzerinde durulan bir problemin verilenleri veya istenenleri değiştirilerek; verilenlerle istenenler yer değiştirilerek; zorluk derecesi uygun olmak şartıyla bir üst sınıfa ait bir kitaptan alınarak, şüphesiz öğretmen tarafından tamamen yeniden düzenlenerek sağlanabilir.

PROBLEM ÇÖZME
     Problem çözme   geçmişte, özellikle ilköğretimde, matematiğin bir konusu olarak ele alınır;  problem türlerine ayrılır; her türle ilgili çözüm yolları öğretilirdi.örneğin havuz problemlerinin çözümü için, genellikle bire indirgeme,  faiz problemlerinin çözümü  basit veya bileşik orantı yolu öğretilirdi. Öğrenciler, kendilerine bir problem verildiğinde, önce bunun ne tip bir problem olduğuna karar verir; bu tipin çözüm yolunu hatırlar; hatırladığı çözüm yolunu verilen probleme uygulamaya çalışırdı. Şüphesiz böyle bir yaklaşımda öğrenci, verilen problemi daha önce çözüm yolunu öğrendiği tiplerden birine benzetmezse veya yanlış benzetmede bulunursa veya ilgili tipin çözüm yolunu hatırlayamazsa problemi çözmede başarısız olur 
     Günümüzde ise öğretmenlerin çoğu, önce bir işlemin nasıl yapıldığını öğretmekte, daha sonra bu işlemin uygulamasını günlük hayattan seçtikleri veya ders kitabından seçtikleri bir problem üzerinde yapma yoluna gitmektedirler. Böyle bir yaklaşımda, öğrencinin problem çözmede başvuracağı strateji, anahtar kelimeleri öğrenmeden ibaret olacaktır.
     Örneğin, bir problemde “toplamı nedir?” veya “toplam  olarak kaçtır?” gibi bir ifade varsa, bunun bir toplama olduğuna karar verme gibi bir problem çözme stratejisine başvurulmasına yol açmaktadır. Yukarıda belirtilenlerle ilgili terimlerin öğrenilmesinin
gerekliliği ile terimlere dayalı problem stratejisi birbirine karıştırılmamalıdır. Burada belirtilmek istenen, problem çözmede sadece terimlere dayalı bir stratejinin yetersizliğidir.

PROBLEM ÇÖZME SÜRECİ
    Matematik problemleri de dahil olmak üzere uygulanabilecek belli bir çözüm yolu yoktur. Her problem ayrı çözüm yolları gerektirir. Ancak Polya tarafından yapılan çalışmalar, matematik problemlerin çözümünde bazı adımlar olduğunu ortaya koymuştur. Bu adımlar şunlardır: (1) Problemin aşılması, (2) Problemin çözümü için bir plan yapılması, (3) Çözüm planının uygulanması ve (4) Sonucun doğru olup olmadığının kontrol edilmesi
     Yukarıdaki adımlar aynı zamanda öğrencilerin, problemleri başarı ile çözebilmeleri için onlarda geliştirilmesi gerekli yetenekleri gösterir. Bu adımlar analiz edildiğinde aşağıdaki kritik davranışlar ortaya çıkar
     Problemin anlaşılmas
     Bir muhtevayı anlayan kimse, o muhtevayı kendi ifadesi ile açıklayabilir, özetleyebilir ve muhtevayı açıklayan bir şema veya şekil çizebilir. Matematik probleminin muhtevasında, verilen bazı bilgilerle bunlardan faydalanılarak bulunması istenenler olduğundan problemin açıklanması, problemde verilenlerin ve istenenlerin neler olduğunun belirtilmesine dönüşür
     Problemin özetlemesi, verilenlerin ve istenenlerin kısaltılarak veya sınıf seviyesine göre sembol kullanılarak yazılmasıdır. O halde problemi anlamayla ilgili kritik davranışlar
1-    Problemde verilenlerin ve istenenlerin neler olduğunun yazılması
2-     Problemi, öğrencinin kendi ifadesiyle söylemesi
3-    Probleme uygun bir şekil çizilmesi
4-    Problemin özet olarak yazılması
    Olarak belirtilebilir
     Problemin çözümü için bir plan yapılmas
     Bu adım bireyi problemin   çözümüne  götüren en önemli adımdır. Bu adım problemin anlaşılmasına dayalıdır. Problemi anlamayan kimse bu adımı gerçekleştiremez; fakat problemin anlaşılması bu adımın gerçekleştirilmesine yetmez.  Bu adıma ek olarak problemde verilenler ve istenenlerle ilgili matematik kavramlarına sahip olunmasını, bunlardan problemle ilgili olanların seçilmesini ve seçilen bu bilgi yardımıyla verilenlerle istenenler arasında matematiksel ilişkilerin kurulmasını gerektirir. Bu adımın kendisi bir kritik davranıştır.
     Çözüm planının uygulanması
     Problemin çözümünde verilenlerle istenenler arasındaki matematiksel ilişkiler kurulduktan veya dört işlem problemlerinde başvurulacak işlemler saptandıktan sonra yapılacak iş, bu planın uygulanması veya dört işlem problemlerinde işlemlerin doğru olarak yapılmasıdır. Ayrıca planı doğru olarak uygulayabilen kimse, problemin sonucunu belli bir yaklaşıklıkla tahmin edebilir. Bu bakımdan, üçüncü basamağın kritik davranışları olarak
1-    İşlem sonuçlarının tahmin edilmesi
2-Problem çözümünde kullanılacak planın   gerçekleştirilmesi veya işlemlerin yapılması olarak
Belirtilebilir.
 
     Sonucun doğruluğunun kontrol edilmesi
 
     Sonucun kontrolü hem işlemlerin doğru yapılıp yapılmadığının, hem de  sonucun tahmine uygun olup olmadığının kontrolüdür. Bunlardan birincisi, işlemlerin mekanizasyonunda bir hata yapılıp yapılmadığını; ikincisi ise işlem hatası yanında ikinci adımda sözü edilen ilişkilerin doğru kurulup kurulmadığının anlaşılmasında işe yarar.
Bu adımında davranışları
1-    Problemin çözümünde başvurulan işlemlerin sağlamasının yapılması,
2-    Sonucun tahminle karşılaştırılması
Olarak ifade edilebilir.Yukarıda açıklamaların ışığında matematik problemlerini çözmede başvurulan adımlardaki kritik davranışlar aşağıdaki gibi listelenebilir:
     .  Problemde verilenlerin ve istenenlerin neler olduğunun yazılması,
     .  Problemin özetlenmesi,
     .  Probleme uygun bir şekil veya şemanın çizilmesi,
     .  Problemin çözümü için bir plan yapılması veya dört işlem problemlerinde gerekli matematik cümlesinin veya çözümde başvurulacak işlem veya işlemlerin yazılması,
     .  Problemin sonucunun tahmin edilmesi,
     .  Planın uygulanarak veya işlemlerin yapılarak çözümün elde edilmesi,
     .  Bulunan sonucun tahmin sonucu ile karşılaştırılması,
     .  Çözümün kontrol edilmesi ve varsa yanlışın sebebi ile birlikte söylenmesi,
     .  Verilen verilere uygun problem yazılması.
     Problem ve problem çözmenin yapısı hakkında yukarda yapılan açıklamalar, problem çözme ile matematikteki kavramların kazanılması arasında bir yakınlığın bulunduğunu göstermektedir. Matematikteki kavramların kazanılması, nasıl kavramların ve işlemlerin bilgisi arasında bir bağ kurma ise, bir problemin çözülmesinde verilenlerle istenenler arasında bir bağ kurmadır. Bu gereklilik problemin çözümü için işe koyulacak planın yapılmasında ortaya çıkmaktadır.
 
     Problemde verilenlerin neler olduğunun anlaşılması ve bunlar hakkındaki bilgiler kavramlar bilgisine, istenenlerin neler olduğunun anlaşılması ve bunlar hakkındaki bilgiler de işlemler bilgisine ve verilenlerle istenenler arasındaki bağ da  kavramlar bilgisi ile işlemler bilgisi arasındaki bağa karşı getirilebilir.
 
     Eğer verilenler ve istenenler kavranmamış ise problemin çözülmesi mümkün olmaz. Şüphesiz verilenler ve istenenlerin anlaşılabilesi için   bunlarla ilgili kavramların bilgisi de  gereklidir. Bu kavramlar problemi çözmeye başlamadan önce kazanılmamışsa problemin çözümü zorlaşır. Hatta çoğu durumda imkansızlaşır. Bu sebepten problemin o zamana kadar öğretim konusu olan davranışlarla çözülebilir  olması gerekir. Buradaki kavramlar bilgisine, işlemler ve işlemlerin yapılışıyla ilgili bilgilerde dahildir. Örneğin toplama işlemi kavramı  kavramlar bilgisi yanında işlem bilgisini de gerektirir. Buradaki işlemler bilgisi toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin nasıl yapılacağı ile bilgidir.
 
     Çözüm için üçüncü öğe de verilenlerle istenen veya istenenler arasındaki bağın kurulmasıdır. Bu bağ, günlük hayat problemlerinde verilenleri, istenenleri ve bu ikisi arasında yapılan işlemleri içeren matematiksel bir ifadedir. Bu ifade problemin matematiksel ifadesi veya soru cümlesi olarak adlandırılabilir. Problemin matematiksel ifadesinin yazılması yerine okullarımızda daha çok, problemin çözümü için başvurulacak işlemlerin belirtilmesi yoluna gidilmektedir. Bu ikisi birbirinden farklı değildir.
 
     Problem çözmede öğrenme ve öğretme süreci
 
     Yukarıdaki açıklamalardan da anlaşıldığı gibi bireylerin problem çözmedeki becerileri geliştirilebilir. Bunu sağlamak için, problem çözme faaliyetlerinin  problem çözmede geçerli davranışlar üzerine kurulması, problem çözmede başarısızlıkların kaynaklarının bilinmesi ve bunları ortadan kaldıran çalışmaların yapılması gerekir.
1-   Problemin anlaşılması: Problemde istenenin ne olduğunun anlaşılması ve isteneni bulabilmek
İçin nelerin verildiğinin anlaşılması çözüme ulaşabilmenin ön şartıdır. Problem çözmede karşılaşılan önemli güçlüklerden biri problemin  gereği gibi okunup anlaşılmamasından ileri gelmektedir. Anlamanın üç alt başlığı vardır. Bunlar, çevirme, yorumlama, öteleme-genellemedir. Bunlardan ilk ikisi problemin anlaşılmasında çok kullanılır.
     a)Öğrencinin problemi kendi ifadesi ile açıklaması: Bir problemi anlamanın ilk göstergesi, öğrencinin bu problemi kendi ifadesi ile açıklamasıdır. Kendi ifadesi ile açıklama, problemi ezbere veya göz ucuyla da olsa problemi verilen ifadesine bakarak değil,  problemin verilenlerini ve istenenlerini değiştirmeden verilenden farklı bir şekilde ifade etmektir. Problemin anlaşılmasıyla ilgili güçlükler genel olarak iki kaynaktan gelebilir. Bunlardan biri okuma güçlüğü, diğeri de problemde geçen kelime ve terimlerden bazılarının anlamlarının bilinmemesidir.
      (1)Problemin okunması: Genel olarak okuma güçlüğü olan öğrenciler bir problemi anlamada güçlük çekerler. Ayrıca matematikte bir problemi veya başka bir materyali okuma, bir hikayeyi, bir romanı veya sosyal bilgilerle ilgili bir materyali okumadan farklı bir beceri ister. Matematikteki okumada daha dikkatli ve seçici olmak, istenenin verilenlerle, verilenlerden istenenle ilişkili olanların seçilmesi ve olmayanların dikkate alınmaması, çözümle ilgili olan ifadelerin ayrılması gerekir. Bu gereklilik ancak analitik bir okuma ile yerine getirilebilir.
     
     Öğrencilerin problemleri yukarıda belirtildiği şekilde anlayabilmeleri için, anlayarak okuma çalışmaları yapılmalıdır. Bu çalışmalardan bazıları şunlar olabilir:
     (a) Kitap ve dergilerdeki problemlerin çözme yoluna gidilmeden sadece anlama amacıyla sesli ve sessiz olarak okutturulması,
     (b) Okumadan sonra, bazı öğrencilere kitap ve dergi kapattırılarak  öğrencilere problemin kendi ifadeleri ile açıklattırılması,
(c)  Problemde geçen ve öğrencilere yabancı geleceği düşünülen kelimelerin açıklattırılması,
(d) Yabancı kelimelerin problem dışındaki cümlelerde kullandırılması,
(e) Problemde verilenlerin ve istenenlerin listelerinin yaptırılması.
 
(2) Problemi açıklayıcı tekniklerin kullanılması: Problemin anlaşılmasında güçlükle karşılaşılır  
ve bu güçlük okuma yoluyla giderilmezse veya problemde açıklanmasına ihtiyaç duyulan kelime ve ifadelerin bulunduğuna baştan  karar verilirse açıklamada yardımcı araçlardan yararlanılır. Bunlar; somut araçlar, ders gezileri ve doğrudan yapılacak diğer etkinlikler, dramatizasyon, bilgisayar olabilir.
 
     b) Problemin özet olarak yazılması: Yukarıdaki faaliyetlerle problemin anlaşılması sağlandıktan sonra, problemin bazı kısaltmalar kullanılarak öğrenciler tarafından yazılması ve problemin anlaşılıp anlaşılmadığının kontrol edilmesini, problemin daha üst basamakta kavranmasını sağlar. Aynı zamanda, ileri sınıflar için, matematikte önemli yeri olan sembollerin kullanılmasına hazırlayıcı olur. Ayrıca, bundan sonraki  basamak olan probleme uygun matematik cümlesinin yazılmasına kolaylık sağlar.
     c) Probleme uygun şekil ve şemanın çizilmesi: Bir muhtevayı anlamanın kendi ifadesi ile açıklamanın daha üst düzeydeki göstergesi ona  uygun bir şekil veya  şema çizmedir. Ayrıca probleme açıklayan bir şekil veya şema  sembolik ifadeye geçişe yardımcı olur. Problemin şekilde ifade edilmesi, verilenlerle istenenlere arasındaki ilişkileri açıklamaya ve matematiksel modellerin kurulmasına önemli bir yardımcıdır. Problem anlaşıldıktan sonra öğrenciler çözüm için yapılacak olan çalışmalara hazır demektir. Çözüm için yapılacak ilk iş problemin çözümünde başvurulacak matematik cümlesinin yazılması veya işlemin tayin edilmesidir.
      Problemi açıklayan bir şekil veya şemanın çizilmesi, ilköğretimin ilk sınıflarında, birden fazla işlemi gerektirmeyen problemlerde iyi bir yol olmasına rağmen ileri sınıflarda problemler karmaşıklaştıkça ve sayılar büyüdükçe zorlaşır; hatta bazen imkansızlaşır. Bu bakımdan her probleme uygun bir şekil veya şemanın çizilmesinde ısrarlı olmamak gerekir. Ayrıca, sınıfların ilerlersine paralel olarak öğrencilerin zihinsel gelişimleri de ilerleyeceğinden bu ihtiyaç azalacaktır.
 
      2-Problemin çözümü için bir plan yapılması: Problem çözmede en önemli adım verilenlerle istenenler arasındaki bağı kuran matematiksel ilişkilerin yazılmasıdır. Bu ilişkiler, problemin çözümü için oluşturulan bi modeldir. Bu model, öğrencilerin sahip oldukları matematik davranışlarına ve yeteneğe göre farklılık gösterir;  daha iyi bir deyişle, öğrenciler, geliştirdikleri stratejilere göre, bir problemin çözümü için farklı modeller kurabilirler. Burada öğretmene düşen görev öğrencilerin kendi problem  çözme stratejilerini geliştirmelerine yardımcı olmaktır.
 
       Öğrencilerin problem çözme stratejilerinin gelişmesinde başvurulabilecek yollar çoğumuzun öğretmen olarak kullandığı, (1) problem çözmedeki adımların öğretim veya problem çözme hakkında öğretim, (2) toplama işleminin problem çözmede kullanılması örneğindeki gibi, problem çözme için öğretim biçiminde ifade edilebilir.
     Ancak, günümüzde problemlerin çeşitliliği, bilim ve teknolojide ulaşılan gelişme hızı, bugüne kadar olandan farklı bir insanın yetişmesini gerekli kılmaktadır. Bu farklı insan, problemin çözümü için elindeki bilgiyi en   iyi biçimde kullanabilen, bilgi olmaması halinde gerekli bilgiyi sağlayabilen ve elindeki bilgilerden yararlanarak  problemin çözümü için bir strateji  geliştirebilen, model kullanabilen kişidir.
 
     Bu düşünce ile problem çözmede yukarıda belirtilen iki yol yerine, (3) matematiğin kendisi de dahil olmak üzere, problem çözme yoluyla öğretim stratejisinin, problem çözme başarısının artırılmasında en iyi yol olduğuna inanılmaktadır.
 
     Problem çözme yoluyla öğretimde öğrenme ve öğretme sürecinde bir matematik konusunun öğrenciye sunuluşunda, bu konunun temel kavramları vurgulanır; daha sonra, bu konuyla ilgili matematik kavram ve işlemleri yardımıyla probleme uygun cevaplar elde edilebilir.
 
     Yukarıda açıklanan üçüncü strateji pek çok problemin matematik cümlesinin yazılmasında işe koşulur. Bir problemle ilgili  matematik cümlesi, problemin ilgili olduğu sınıfa göre bazen bir tane, bazen birden çok olabilir. Problemin çözümü için matematiksel ifade yazmak yerine çözümde başvurulacak işlemler de  belirtilebilir. Eğer böyle yapılacaksa, başvurulacak işlemler sıraya göre ve niçin bu işleme baş vurulduğu açıklanmalıdır.
 
     Çözüm için ister matematik cümlesinin, ister  başvurulacak işlemlerin yazdırılması yoluna gidilsin,  yukarıda belirtildiği gibi, verilenlerle istenenler arasındaki bağı kuracak kavramların bilgisine ihtiyaç vardır. Ülkemizde yaygın bir uygulama olarak çözümde başvurulacak işlemlerin ifade edilmesi yoluna gidilmektedir. Matematik cümlesinin yazılmasının, öğrencilerin model kurma becerilerinin geliştirilmesinde ve gerçek hayat ile matematik dünyası arasındaki ilişkinin kurulmasında daha etkili bir  yoldur.
   Probleme uygun matematik cümlesinin yazılması, matematikte önemli yer alan matematiksel model oluşturma çalışmalarıdır. Öğretimin her basamağında ve her konuda, faaliyetler öğrencide bilinenlerle 12ilgili matematiksel modeli oluşturma yeteneğini geliştirecek şekilde düzenlenmelidir. Bu uzun süreli bir çalışma gerektirir. Hemen bütün problem çözme çalışmalarında, bilinenlerle bilinmeyen arasındaki ilişkiyi belirleyen ve bunun yazılmasını sağlayan çalışmalara yer verilmelidir. Bu çalışmalardan bazıları şunlar olabilir:
 
a.    Problemi şekil, şema ve grafikle açıklama: Probleme uygun onu açıklayan bir şekil veya şema veya grafik aynı zamanda problemin çözümünde atılmış önemli bir adımdır;  çünkü bu     davranış, verilenlerle istenen veya istenenler arasındaki ilişkinin görülmesinde büyük kolaylık   sağlar; dolayısıyla öğrencinin, çözüm için bir strateji geliştirmesinin ilk  aşamasıdır.                                   
 
          Probleme uygun bir şekil, şema veya grafik çizilirken, öğrencilerin bulundukları  sınıfa     göre, problemdeki varlıkların gerçek resimlerinden; çizgi yuvarlak veya x,0 gibi işaretlerden;   hatta üç boyutlu varlıklardan yararlanılabilir.
  
            b.  Matematiksel yapılardan yararlanma: Önceki bölümde açıklandığı gibi, matematik yapılardan oluşturulan bir sistemdir. Matematikte birçok problem bu yapılarla ilgilidir; dolayısıyla problemin çözümü, problemde verilenlerle istenenler arasındaki ilişkinin kurulmasında bu yapılardan yararlanılabilir; hatta bazı problemlerin çözümü, bu yapının görülmesine bağlı olabilir. Problemle ilgili yapının görülmesinde, problemin iyice anlaşılması ve verilenlerin, verilenlerle istenenler  hakkındaki bilgi ve becerilerin uygun biçimde bir araya  gelmesi gerekir. Bu arada şekil, şema ve grafiklerden de yararlanılabilir.
                               c.  Tablo yapma: Bazı problemlerde iki değişken bulunur. Değişkenlerden birine  verilen  değere göre diğerinin alacağı değerin bulunması gerekir. Böyle bir durumda, her iki   değişkene   ait değerlerin bir tabloda gösterilmesi, bu iki değişken arasındaki ilişkinin görülmesinde kolaylık sağlar. Tablo yapmada önemli husus, tablonun satır ve sütun başlıklarının  doğru tayin edilmesidir.
          
d.    Problemi küçük sayılarla ifade etme: Büyük sayılar genellikle bilinenler arasındaki
ilişkilerin görülmesini engeller. Bu bakımdan, problemin yapısının değiştirilmeden, sadece sayıların küçültülerek verilmesi düşüncenin, problemle ilgili ilişkiler üzerine yoğunlaştırılmasına yardımcı olur.
e.    Akıl yürütme: Problem çözmede akıl yürütmeye şüphesiz her aşamada başvurulur.
Burada “akıl yürütme” ifadesi “böyle ise şöyle olur”, veya “bu durumdan şu sonuç çıkar” anlamında kullanılmaktadır. Bu tür akıl yürütmeye mantıksal  akıl yürütme denir. Problem çözmede bu  yol çok geniş bir uygulamaya sahiptir; özellikle bağıntıların ve ilişkilerin ortaya çıkarılmasında çok etkilidir. Akıl yürütmeye baş vurmada yardımcı olarak şekil, şema, grafik veya tablodan da yararlanılabilir.
 
f.      Model çözümler geliştirme ve bunları analiz etme: Şüphesiz her problem öğrenci için
farklıdır.  Ancak matematikte bazı problemler sınıflandırılabilir. Buna örnek olarak havuz problemleri, alış veriş problemleri, faiz problemleri, iskonto problemleri, kar-zarar problemleri vb. gösterilebilir. Bu gruplara uygun örnek çözümler geliştirilebilir. Bu örnek çözümler birer model çözüm oluştururlar. Bu çözümler, matematiksel düşüncenin geliştirilmesinde, benzer problemlerin çözülmesinde ve farklı çözüm yollarının tartışılmasında yardımcı olur.
                          g. Bilinenleri eleştirici biçimde inceleme:  Problemler hayatta, düzenli bir şekilde  karşımıza çıkmaz, çoğu zaman yalnız gerekli bilgiler verilir ve destekleyici bilgiler verilmez.           
                         Bu   bakımdan, problem çözme yeteneğinin geliştirilmesi için bilinenlerin eleştirici biçimde     İncelenmesi  ile ilgili alıştırmalar yaptırılması gerekir. Öğrencilere, eksik ve fazla bilgi içeren problemler verilmeli  onlara eksik ve fazla bilgilerin neler olduğu sorulmalıdır. Ayrıca, problemin düzeltilmesi de istenmelidir.
 
g.    Matematik cümlelerini kullanma: Pek çok durumda özellikle dört işlem problemlerini
problemin çözümü için bir veya daha çok matematik cümlesinin yazılması veya başvurulacak işlemlerin saptanması gerekir. Problem cümleleri bazen eşitlikler bazen de eşitsizlikler olabilir. Bir problemin çözümü için gerekli matematik cümlesinin yazılması, problem çözme davranışlarının en zor görüneni ve zaman alıcı olanıdır. Bu yeteneğin geliştirilmesi için problemi çözmeden, sadece matematiksel cümleyi veya çözümde başvurulacak işlemleri yazmayı gerektiren çalışmalar yapılmalıdır. Bu çalışmalarda, önce bir, sonra iki, daha sonra çok işlemi gerektiren problemlere yer verilmesi; problemin zorluğunun giderek artırılması; matematik cümlesinin yazdırılması çalışmalarına başvurulacak işlemlerin belirtilmesinden sonra geçilmesi çalışmaları kolaylaştırıcı olur.
 
                             2-İşlemin yapılması
 
               Problemin çözümünde, problem cümlesi yazıldıktan sonra, bu cümledeki, işlemlerin yapılmasına sıra gelir. Problemin sonucunun doğru olması işlemin doğru yapılmasına bağlıdır. 
              Bu bakımdan problemi çözme çalışmalarından bağımsız olarak doğru işlem becerisini geliştirici çalışmalara yer verilmesi gerekir. Bu yeteri kadar alıştırma yapılarak sağlanabilir.
 
             Yazılı işlem yapma becerisinin geliştirilmesinde zihinden işlem becerisi de önemlidir.  Özellikle küçük sayılarla dört işlemin zihinde kolayca yapılabilmesi sağlanmalıdır. Öğrenciler basit yazılı problemlerin sonuçlarını zihinden hesaplayabilmelidirler.Bu beceri, hem günlük yaşayışta karşılaşılacak problemlerin çözümünde, hem de yazılı problemlerin sonuçlarının tahmininde işe yarar. İşlem yapıldıktan sonra işlemin sağlaması da yaptırılmalı ve sağlama yapma alışkanlığı kazandırılmalıdır. İşlemin yazılı olarak yapılmasından önce işlem sonucunun tahmin edilmesi, hem matematik cümlesinin yazılması hem de bu cümlenin doğruluğunun kontrolünde işe yarar.
 
     Burada “sonucun tahmin edilmesi”  ifadesi ile belirtilen, sonucun sayısal olarak  bulunması değildir;  zaten pek çok problemde bu mümkün de değildir. Sonucun tahmini, sonucun belli bir yaklaşıklıkla elde edilmesi veya sınırlarının belirtilmesi yoluyla yapılır. İşlemlerin sonucunda bulunan sayı veya sayılar ile tahmini sonuç karşılaştırılmalı, karşılaştırma tutarlı ise çözümün doğruluğuna karar verilmeli; tutarsız ise hatanın kaynağı araştırılıp düzeltilmelidir.
 
     I.Problem kurma çalışmaları yaptırılması: Matematikteki genelleme, ilke ve işlemlerden yararlanılarak birtakım sayılar arasında ilişki kurma becerisinin geliştirilmesinde başvurulacak yollardan biri de  bazı ilke ve sayılar verilerek bunlara uygun problem durumları yaratılmasıdır. Bu bakımdan, öğrencilere, bazı sayılar ve işlemler verilerek belirtilen şartları yerine  getirecek  şekilde verilen sayıları işlemlerde kullanmayı gerektirecek problemler düzenlenmesi çalışmaları yaptırılmalıdır.
             
     Bu çalışmalarda şüphesiz her öğrenci değişik problemler düzenleyecektir. Bunların, verilenlere uygunluğu kontrol edilmelidir. Ayrıca, orijinal problemleri yazan öğrenciler ödüllendirilmelidir. Bu çalışmalar sırasında, matematikte ileriye gelebilecek öğrencilerin teşhisi mümkün olabilir. Böylece öğrencilere özel önem verilmeli  ve bireysel çalışmalar sırasında bu öğrencilerin yeteneklerini geliştirecek etkinlikler düzenlenmelidir.
 
PROBLEM ÇÖZME BAŞARISINI ETKİLEYEN  FAKTÖRLER
 
     Problem çözme yeteneğini etkileyen faktörler üç grupta toplanmaktadır.Bunlar bilişsel, duyuşsal ve tecrübe faktörleridir.
 
     Bilişsel faktörler: Problem çözmeyi etkileyen bilişsel faktörler arasında matematik kavramlarının bilgisi, mantıksal düşünme ve akıl yürütme gücü, bazı problemlerde uzaysal akıl yürütme gücü, hafıza, hesaplama becerisi ve tahmin gelir.
 
     Duyuşsal faktörler: Problem çözmeye isteklilik, kendine güven, stres ve kaygı, belirsizlik, sabır ve azim, problem çözmeye veya problem durumlarına ilgi, motivasyon, başarı göstermeye arzulu olma, öğretmeni memnun etme arzusu gibi faktörlerde duyuşsal faktörler grubunu oluşturur.
 
     Tecrübe: Bu faktöre, belli konularda problemlerle karşılaşma, belli problem çözme stratejilerini önceden kullanmış olmak girer.
 
     Yukarıdaki özellikleri sahip olanların  iyi problem çözeceği, olmayanların da problemleri çözmede başarısız olacağı anlaşılmamalıdır. Ayrıca bunların bazıları bireylerin gücü ile ilgili olduğu yani doğuştan getirilen özellikler olmakla beraber çocuğun öğretimde geliştirilebilen özellikler olduğu unutulmamalıdır.
 
     İlköğretimdeki matematik eğitiminin başlıca amacı öğrencilerin, yetenekleri doğrultusunda mümkün olan ölçüde gelişme sağlamalarına yardımcı olmaktır. Bütün öğrencileri iyi bir matematikçi olarak yetiştirmeye çalışmak yerine  öğrencilerin problem çözme tecrübelerini artırmak, yeteneklerini ortaya çıkarmalarına ve onu kullanmalarına imkan sağlamak; henüz işin başında başarısızlıklarla karşılaştırmak yerine başarı zevkini tattırmak, kendine güvensizlik yaratmak yerine güveni geliştirmek ve artırmak, matematiğe karşı olumlu duygular geliştirmek, onu sevdirmek öğrencilerde problem çözme becerisini artırma yönünde önemli öğretmen davranışlarıdır.
 
     Problem çözmede ilgi ve tutumun izlenmesi
 
    İlgi ve tutumların ölçülmesi davranışların yoklanması kadar kolay değildir. Bunların her biri için araç geliştirme yetişme isteyen bir iştir. Ancak bu özelliklerin ölçülmesi için geliştirilmiş hazır araçlar vardır. Bunlardan yararlanılabilir. Bu araçların uygulanması da her zaman mümkün olmayabilir veya mümkün olsa bile sık sık uygulanması gerekmeyebilir. Ancak öğretmenin öğrenciler hakkında onların problem çözmeye olan ilgi ve tutumları hakkında aşağıdaki özelliklerin gözlenmesi ve bunları kaydetmesi onlardaki duyuşsal özellikleri izleme yönünden gereklidir.
 
     Öğrencinin,
     Problem çözmeye gösterdiği ilgi,
     Verilen problemleri çözmede kendine güvenin ne yönde olduğu,
     Problem çözme yeteneğinin olup olmadığı hakkında kendine güveni,
     Problem çözmede başarılı olup olmayacağı hakkında kendine güveni,
     Problem çözme çalışmalarından zevk alıp almadığı,
     Bir problemi çözmedeki kararlılığı,
     Problem çözme çalışmalarında arkadaşlarıyla işbirliği yapıp yapmadığı.
    Bu çalışmalar yapılmakla beraber yılda bir veya iki kere yukarıda sözü edilen ölçme araçlarının uygulanması  ilgi ve tutumun sayısal olarak ifade edilmesi,  öğrencideki duyuşsal özellikler yönünden gidişatın saptanması ve ona tedbir alınması  yararlı olur.
 
     Problem çözme becerisi
 
     Bilim ve teknolojideki gelişmeler insanların yeni durumlara uyum sorununa sebep olmaktadır. Bu yüzden, öğrencilerde problem çözme yeteneğini geliştirmek, eğitimin birinci hedefidir.
 
     Gerçek hayatta problem çeşitlidir. Matematiksel düşünmeyi kazandırmak için bu problemlerden başlanmalıdır. Gerçek hayattaki problemlerin çözüm aşamaları, matematik problemlerinin çözümü ile ilişkilendirilmelidir; öğrencilere, hesaplama, uygulama ve değişik çözüm yollarıyla kazandırılmalıdır. Problemler öğrencilerin dört işlemi kullanmalarını gerektiren durumlardır. Bu nedenle problemler şu özellikleri taşımalıdır.
1-    Problemler, çocuğun kendi yaşantısından, ev- aile- okul ve sınıf hayatından çevredeki ve çeşitli iş alanlarından alınmalıdır.
2-    Problemler çocuğun istekle yapacağı nitelikte   olmalıdır
3-    Öğretmen ,problemlerde daima  çocukların günlük yaşantılarını göz önünde tutulmalı ve problemin çözümü için kullanılacak işlemlerin daha önce kavratılmış olmasına dikkat edilmelidir.
4-    İşlemlerin kavratılması amacıyla verilen problemler çok basit olmalı; ünite veya konu sonlarındaki problemler, kolaydan zora doğru sıralanmalıdır.
5-    Öğrencilere verilen problemler onların gelişim seviyelerine    uygun olmalıdır.
6-    Öğrencilere ders dışında yapılmak üzere verilecek alıştırmaların ve problemlerin çok olmamasına dikkat edilmelidir.
7-    Problemler, gereği kadar açık olmalı, aynı zamanda öğrencilere birtakım bilgiler kazandırmalıdır. Bu durumda öğrenciler problemlere karşı ilgi duyarlar ve çözmek isterler.
 
  Problem çözmede dikkat edilecek özellikler

                   1- Öğretmen, problemi çözme çalışmalarında öğrencilerin kendi başlarına düşünmeleri için belli bir süre vermelidir.
2- Çözümler tahtada ve defterde yazılırken yazı düzenine dikkat edilmelidir.
     3-Öğretmen, mümkün olduğu kadar öğrencilerin, problemleri kendilerinin çözmelerine imkan   vermeli, gerekmedikçe müdahale etmemelidir. Ancak çocuklar herhangi bir zorlukla karşılaştığında onlara yardım etmelidir.
     4- Sonuca en kısa yoldan götüren çözüm tercih edilmeli; ancak farklı çözümler de değerlendirilmelidir.
     5- Problemin çözümü için zihinden hesaplama, sonucun tahmin edilmesinde önemli bir yer tutar. Bu bakımdan zihinden hesaplama becerisine yeteri kadar zaman ayırmalı, öğrencilerin bu becerileri geliştirilmelidir.
   
     Problem çözme sürecindeki aşamalar
 
a.    Problemlerin verilenlerini ve istenenlerini söyleme ve yazma
b.    Problemi özet olarak yazma
c.     Probleme uygun şekil veya şemayı çizme
d.    Problemin çözümünde başvurulacak işlemleri sebepleriyle birlikte söyleme ve yazma
e.    Problemin sonucunu tahmin edip söyleme ve yazma
f.      Problemi çözüp sonucu söyleme ve yazma
g.    Problemin çözümünde, varsa değişik çözüm yolları söyleme ve yazma
h.    Problemin çözümünün doğru yapılıp yapılmadığının sebebini söyleyip yazma
i.       Öğrenilen bilgilerin kullanılabileceği şekilde bir problem söyleme ve yazma
     
     Alıştırmalarla ilgili özellikler
 
     Öğrencilerde görülen başarısızlıkların bir sebebi de amaca uygun ve gerektiği kadar alıştırma yaptırılmamasıdır. Öğrenme süreleri farklı olduğundan özellikle geç ve güç öğrenenler için alıştırmalarda çeşitlilik gereklidir. Programdaki bazı işleniş örneklerinde olduğu gibi çalışma yaprakları düzenlenmelidir. Bu tür etkinlikler, öğrenmeyi zevkli ve kolay hale getirir. Matematik öğretiminde alıştırmanın yeri yukarıda belirtildiği gibi, ancak bazı ilgi ve beceriler edinildikten, geliştirildikten ve hayatta uygulandıktan sonra önem kazanır.
    
     Alıştırma yaptırılırken aşağıdaki noktalara dikkat edilmelidir:
1-    Birinci sınıfta, dört işleme yeteri kadar ağırlık verilmelidir.
2-    Çabukluğa önem verilmeli, ancak doğruluk çabukluğa feda edilmemelidir.
3-    Alıştırmalar çocuğu yorucu ve bıktırıcı olmamalıdır.
4-    Alıştırmalar, belli zaman aralıklarıyla tekrarlanmalıdır.
5-    Problemler ve alıştırmalar için sayı seçilirken, işlemin özelliği dikkate alınmalıdır.
6-    Alıştırmalarda, zihinden hesaplama becerilerinin geliştirileceği de unutulmamalıdır.
7-    Toplama işlemende önce ileriye, çıkarma işleminde önce geriye sayma, çarpma işleminden önce ritmik sayma çalışmalarına-sınıf seviyesine uygun şekilde-yeteri kadar yer verilmelidir. Bu çalışmalar ilgili işlemlerin yapılmasını kolaylaştırıcı olarak düşünülmelidir.
 
      Ölçme ve değerlendirme
 
     Değerlendirme, eğitim etkinliklerinin ayrılmaz bir parçasıdır. Eğitimde değerlendirme, öğrencilerin eksikliklerini tespit etme, başarılarını saptamak, onları belli programlara yönlendirmek, başvurulan öğretim yönteminin etkinliğini anlamak, kullanılan eğitim programının uygun olup olmadığını belirlemek gibi amaçlarla yapılır. Öğrenci eksikliklerini tespit etmek ve başvurulan öğretim yönteminin etkinliğini anlamak, öğrenciden çok öğretimi ilgilendirir. Başka bir deyişle, bu değerlendirme türünde programdaki davranışların bütününün konu edilmesi gereklidir. Elde edilen sonuçlar öğrenci başarısını değerlendirmede kullanılmamalıdır.
 
     Öğrenci başarısını değerlendirmede ise öncellikle öğrencinin programda belirtilen amaçlara ne derece ulaştığı, diğer bir deyişle, davranışların ne kadarını kazandığının saptanmasıdır.Bu çalışmanın sonunda, öğrenci başarısı değerlendirilir. Bu değerlendirme türünde, elbette programdaki bütün davranışların kazanılıp kazanılmadığının anlaşılması gerekmez. Bunun yerine, bütün davranışları temsil edecek şekilde seçilen daha az davranış değerlendirmeye konu edilir.İlköğretimdeki değerlendirme çalışmaları, öğrencilerin eksikliklerini saptama ve matematikte bireyin sonraki yaşantısında temel olacak davranışların geliştirmeye yönelik olmalıdır.Ayrıca, matematikte konular arasındaki ön şart ilişkisi çok güçlü olduğundan başka bir deyişle; sonraki öğrenmeler, büyük ölçüde konuyla ilgili önceki birikimlere bağlı olduğundan öğrenci eksikliklerinin tamamlanması, bu sebeple de yeterli düzeyde gelişmemiş olan davranışların saptanması büyük önem taşır.
 
     Önceki öğrenmelerin; kendilerine dayalı  sonraki öğrenmeleri kolaylaştırabileceği,  zorlaştırabileceği hatta matematikte öğrenmeyi imkansızlaştırabileceği bilindiğinden, öğrenci eksiklerini saptama
amacıyla yapılacak değerlendirmenin önemi daha iyi anlaşılır. Bu nedenle öğretmen, zaman zaman yapacağı sınavlarla öğrencilerin eksiklerini tespit etmeli ve bunları giderici çalışmalar yapmalıdır.
 
     Öğrenci başarısını değerlendirmek amacıyla çalışmalar; yarıyıl içinde yönetmeliğe uygun olarak gerçekleştirilen ölçmelere, ödevler ve öğrencinin sınıf içi çalışmalarından oluşmalıdır. Başarıyı tespit amacıyla yarıyıl içindeki ölçmelerden öğrencilerin eksiklerini anlamak için yararlanılabilir. Ayrıca, sonuçlar öğrenciyi güdüler, ilerdeki öğrenmelere hazır hale getirir. Son zamanlarda yapılan çalışmalar; güdüleme, hazır olma ve diğer etkenlerin başarıda büyük ölçüde rol oynadığını göstermiştir.
     Değerlendirme, bir niteliğe ait ölçme sonuçlarının bir ölçütle kıyaslanarak karara varılması işlemidir. Buna göre, bir niteliğin yeterliği hakkında karara varmak için o konuya ait bazı ölçmeler yapmak zorunludur. Başvurulan öğretim yöntemlerinin ne derece etkili olduğu amacıyla yapılan değerlendirmede bütün davranışlar ölçme konusu yapılır. Ancak, öğrenci başarısını değerlendirmek için yapılan ölçmelerden de bu amaçla yararlanılabilir. Hatta, bunlar öğrenci eksiklerini tespitte kullanılabilir.
 
     Ölçme çalışmalarında ölçülecek özelliklerin neler olduğunun açık şekilde bilinmesi gerekir. Programda her konuyla ilgili olarak geliştirilmesi planlanan özelliklerin neler olduğu, her amaç altındaki davranışlarla belirtilmiştir. Ölçme çalışmalarında bu davranışları yoklayacak sorular sorulmalıdır. Soru hazırlamada soru türü ölçülecek davranışın özelliğine uygun olarak seçilmelidir. Bu davranışlar için çoktan seçmeli, bazıları için açık uçlu tipte sorular sorulabilir.
     Soruların hazırlanmasında aşağıdaki özelliklere dikkat edilmelidir:
     1-Birinci sınıftaki ölçme, yazılı sorular yerine sözlü sorularla yapılmalıdır.Ancak,bazı durumlarda bu sınırlı olarak öğretim yılının sonuna doğru okuma yazma çalışmaları yeterli düzeye geldikten sonra yazılı sorulara geçilmelidir.
     2- Birinci, ikinci, üçüncü sınıflarda çoktan seçmeli soruların kullanılması halinde seçenek sayısı tercihen üç olmalıdır.
3- Dördüncü, beşinci, altıncı, yedinci ve sekizinci sınıflarda çoktan seçmeli soruların kullanılması
halinde, seçenek sayısı tercihen dört olmalıdır.
     4- Cevabını öğrencinin yazması gereken sorular, çoktan seçmeli sorularla olduğu gibi  davranışları yoklayacak nitelikte olmalıdır.
     5- Zihinden işlem yapma becerilerinin yoklanmasındaki sorular sözlü olarak sorulup cevabında sözlü olarak alınması esas olmalıdır.
     6-Zihinden işlem yapma becerilerinin ve problem çözme süreci ile ilgili davranışların yoklanmasında, öğrencilerin düşünme süreçlerini anlamak için izledikleri yolu ayrıntılı olarak söylemeleri de istenmelidir.
    
     Değerlendirmede kararın isabet derecesi büyük ölçüde sonuçların güvenilir ve geçerli olmasına bağlıdır. Güvenilirlik, gelişi güzel hatalardan arınmak anlamına geldiğine göre; ölçme sonuçlarının açık ve seçik olarak anlaşılır şekilde yazılmasına, puanlamada kişiye bağımlılıktan uzak kalınmasına, bunun için anlaşılır bir cevap anahtarı ve puan çizelgesi hazırlanıp buna bağlı kalınmasına, ayrıca puanlama sırasında öğrencilerin özel durumlarının dikkate alınmasına ve maddi hata yapılmamasına dikkat edilmelidir. Geçerlilik için; ölçülecek davranışların önceden programdan seçilmesi ve sadece bunları yoklayan soruların hazırlanması gerekir. Seçilmeyen davranışlarla ilgili soru sorulması veya seçilenler için soru yazılmaması geçerliliği düşürür.

Matematik Özel Ders